Застосування математики в реальному житті

Декілька цікавих прикладів застосування математики у реальному житті. Допоже зрозуміти навіщо її вчити.


5
78 shares, 5 points

        Математику не потрібно вчити як задачу.

Її потрібно засвоїти як складову щоденного мислення.

Майже всіх в школі цікавить питання “навіщо математика в повсякденному житті?” І викладачі рідко можуть дати відповідь, яка задовольнить інтерес. Тому в цій статті я приведу деякі думки та ідеї з книги “Як ніколи не помилятися. Сила математичного мислення” Джордана Елленберга і сподіваюся, це допоможе.

Швидше за все вам не знадобиться більшість формул, які ви вчили, але це не означає, що вони не приносять користі для вас. Можна навести аналогію з грою в футбол:

На тренуванні з футболу крім самої гри завжди присутні фізичні вправи. Вони не є футболом, однак розвивають силу, швидкість, витривалість, а отже, готують до гри.

Шкільні завдання з математики, будь то спрощення дробово-раціональних виразів чи перетворення тригонометричних формул, також є підготовкою: або до того, щоб продовжити займатися математикою професійно, або до того, щоб просто “грати в своє задоволення” і чіткіше бачити картину світу, уникнути безлічі помилок у своєму житті.

Систематична помилка вижившого:

За часів другої світової війни у військових стояло важливе питання зміцнення літака додаткової бронею. Потрібно було вибрати ту його частину, зміцнення якої в рази підвищить кількість літаків, які після бою повернуться на базу. Військові вважали, що зміцнити потрібно фюзеляж, адже саме він був найбільш пошкоджений на  літаках, які повернулися з бою. Пробоїн же в частині, де розташовувався двигун, практично не було.

З огляду на тему статті, не дивно, що на допомогу військовим прийшли математики. Вивчаючи місця пробоїн літаків, що повернулися, Абрахам Вальд рекомендував зміцнити ті частини, на яких пробоїн  найменше. Для військових таке рішення здавалося, м’яко кажучи, дивним. Однак воно було засноване на простому твердженні: літаки, які отримують ушкодження в цих місцях, просто не долітають до бази.

Може здатися що математика тут зовсім і ні до чого. Але навіть якщо ви подивитеся на замітки Вальда – ви переконаєтеся, що математика ще й як причому. Та й саме математика навчила його ставити правильні питання: “З яких припущень ми виходимо? Чи обгрунтовані вони? “

Знаючи про систематичну помилку вижившого – як знав про неї Вальд, ви будете готові виявити подібний підступ в інших ситуаціях, де б він не ховався!

Типова сторінка реального звіту Вальда

Небезпека лінійного мислення

Зараз мова піде про лінійну регресію, як про досить функціональний інструмент математики, який однак не можна бездумно застосовувати скрізь. І щоб не ускладнювати статтю визначеннями, я приведу приклад з мемуарів Марка Твена “Життя на Міссісіпі”:

“… довжина Міссісіпі між Каїром і Новим Орлеаном 176 років тому становила 1215 миль. Після прориву русла в 1722 році довжина стала 1180 миль. Коли утворився рукав біля Американської вилучини, довжина стала 1040 миль. Відтоді ця ділянка річки покоротшала ще на 67 миль. Отже, зараз її довжина між Каїром і Новим Орлеаном становить усього 973 милі.

За 176 років Нижня Міссісіпі покоротшала на 242 миль, тобто в середньому приблизно на милю і одну третину в рік. Звідси кожна спокійна та розсудлива людина, якщо тільки вона не сліпа і не зовсім ідіот, може побачити, що в давню силурійську епоху, – а їй в листопаді наступного року виповниться рівно мільйон років, – Нижня Міссісіпі мала понад 1 300 000 миль в довжину і висіла над Мексиканською затокою на кшталт вудки. Виходячи з тих самих даних, кожен легко зрозуміє, що через 742 роки Нижня Міссісіпі матиме тільки одну і три чверті милі в довжину, а вулиці Каїра і Нового Орлеана зіллються, і будуть ці два міста жити у злагоді, керовані одним мером і обираючи спільну міську раду. Усе ж таки є в науці щось захопливе. Вкладаєш сущий мізер фактів і за допомогою припущення отримуєш колосальний результат.”

Міркування якими скористався Марк Твен відповідають моделі лінійної регресії. Прочитавши це, спочатку здається що начебто навіть все логічно – порахував середню швидкість зменшення довжини річки, а потім порахував, що станеться, якщо така ж тенденція збережеться. Однак також є відчуття, що щось тут не так і насправді те, про що він пише, не відбудеться. Так і є, тому що тут лінійна регресія не працює. Так само, як вона не працює і в статтях під назвами: “всі американці будуть з надмірною вагою до 2048 року”, “в країнах, де більше фастфуду” Бургер Кінг “, знижується рівень моралі”, або що “вітамін В3 подвоює ризик грибка на ногах” .

Те, що за останні роки зросла кількість американців із зайвою вагою, – це факт. І якщо взяти середню швидкість збільшення їх числа і скористатися лінійної регресією, то з’ясуємо що до 2048 році ВСІ американці розповніють. Окей. Давайте тепер дослідимо таким же чином чорношкірих чоловіків американців – вони всі розповніють до 2095 року. Але стоп, хм. Адже вони повинні були це зробити до 2048 року. Щось тут не так…

Якщо ви будете знати і пам’ятати про подібні помилки, вам буде легко розпізнати абсурдність багатьох тверджень, які невміло намагаються аргументувати математичними підрахунками.

За скільки потрібно приїхати в аеропорт?

Ні, насправді тут ви не знайдете конкретне число годин і хвилин, за яке найкраще приїжджати до аеропорту, проте зрозумієте як оцінити всі ризики і вибрати найкращий варіант для себе.

Тут ми будемо користуватися таким поняттям як очікувана цінність або математичне очікування. Але для початку візьмемо трохи статистичних даних:

Варіант 1. Прибуття в аеропорт за 2 години до вильоту, запізнення на літак в 2% випадків.

Варіант 2. Прибуття в аеропорт за 1,5 години до вильоту, запізнення на літак в 5% випадків.

Варіант 3. Прибуття в аеропорт за 1 годину до вильоту, запізнення на літак в 15% випадків.

Будемо використовувати ютиль як одиницю виміру цінності нашого часу. Нехай одна година нашого часу вдома коштує х = 1 ютиль. У той час як запізнення на літак можна оцінити набагато вище (залежно від кількості годин, які вам доведеться там провести, і тому наскільки для вас це неприємно, або наскільки важлива подія заплановано по прильоту і т.д.), для прикладу оцінимо запізнення як у = 6 ютилів.

Порахуємо математичне очікування (це середнє значення випадкової величини):

1 варіант: 2 * (- х) + 2% * (-у) = -2 + 2% * (-6) = -2.12 ютилів

2 варіант: 1.5 * (- х) + 5% * (-у) = -1.5 + 5% * (-6) = -1.8 ютилів

3 варіант: 1 * (- х) + 15% * (-у) = -1+ 15% * (-6) = – 1.9 ютилів

По суті ми отримали середню цінність – кількість ютилів, які ми в середньому “втратимо”.

Виходить що в другому варіанті (приїзд за 1.5 години до вильоту) – втрати будуть найменшими.

Так, надовго застрягти в аеропорту – утомливо і неприємно, але якщо ви часто літаєте, то хіба це настільки неприємно, щоб кожен раз проводити зайві півгодини в терміналі, щоб скоротити і без того невеликий шанс запізнитися на літак?

Чому ми допускаємо існування подібних ситуацій? Відповідь проста: усунення втрат має свою ціну, так само як завчасний приїзд в аеропорт. Дотримання закону і пильність – це розумні і правильні цілі, але цілковите усунення марнування часу, так само, як усунення найменшої імовірності запізнитися на літак, тягне за собою витрати, які переважують користь від нього.

І в житті дійсно часто бувають такі ситуації:

Нам варто оцінювати ризики і, якщо вони дуже і дуже малі, то спроба їх зменшити ще більше може обійтися дуже “дорого”.

Картинка показує, що і занадто завчасний приїзд в аеропорт (за 4 години), і приїзд стрімголов (за 15 хвилин) збереже вам менше “цінних” годин, ніж якийсь проміжний варіант.

У книзі Джордана Елленберга ви також зможете знайти відповіді на питання:

  • Як вирішувати проблеми в економіці, соціальних відносинах, політиці, медицині, богослов’ї за допомогою математики;
  • Чим насправді є “громадська думка”;
  • Як виграти в лотерею;

І ще багато чого.

І як висновок хочу сказати:

  1. Більшість вчителів не вчать бачити ситуацію в цілому і саме тому вся шкільна програма схожа на поверхневе застосування формул. Однак потрібно вміти розбиратися в проблемі і застосовувати математику правильно, щоб на виході отримати істинне рішення в реальному житті.
  2. Навчальна програма сформована таким чином, що здається, що математика це просто розрахунки. Але ні. Розрахунки завжди присутні в рішенні реальних завдань, проте математика це скоріше те, що формулює ці вирази для підрахунку.

        Математика – це продовження здорового глузду, тільки іншими засобами.


Сподобалось? Поділіться з друзями!

5
78 shares, 5 points

Яка ваша реакція?

lol lol
0
lol
love love
1
love
wow wow
0
wow
angry angry
0
angry
Інга

Student

0 Comments

Виберіть Формат
Історія
Форматований текст з посиланнями та візуалізацією
Голосування
Голосування для прийняття рішень або визначення думок
Список
The Classic Internet Listicles
Відео
Youtube, Vimeo або Vine відео